От действий над матрицами к пониманию их сути… / Habr

Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше…

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.

Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».

Матрица — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 24 июля 2019; проверки требуют 7 правок. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 24 июля 2019; проверки требуют 7 правок.

Ма́трица (лат. matrix — «первопричина»):

Матрица — сфера применения, взаимодействия.

• Ма́трица в математике — объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.
• Матрица в физике — конденсированная среда, в которую помещаются изолированные активные частицы с целью предотвращения взаимодействия между собой и с окружающей средой.
• Matrix — открытый протокол мгновенного обмена сообщениями.

• Матрица (диск) — название специального диска, служащий образцом для создания дисков (компакт-диск, DVD и др.) с записью (музыки, фильмов и т. д.) при их серийном или массовом производстве.
• Матрица (издательское дело) — вогнутая часть формы, в которой пластическое тело формуется давлением, служащее типографским шрифтом.
• Матрица в красильном деле — деревянная пластинка с вырезанным на ней рельефом какого-нибудь узора, служащая для отливки металлических набивных форм.
  • Матрица (фото) — полупроводниковая СБИС с прямоугольной матрицей светочувствительных элементов (фотодиодов) для преобразования поступающего на неё света (отраженного от объекта) в электронный сигнал (изображение) или массив цифровых данных.
• Матрица (экономика) — таблицы, предназначенные для диагностики состояния^[1].
• Матрица композита — связующее композиционного материала: распределяет нагрузку по армирующим элементам и защищает их.
• Матрица (программирование) — двумерный массив.
• Матрица (электроника) — обобщенный термин для различных объектов в электронике, в которых элементы объекта упорядочены в виде двумерного массива, аналогично математической матрице.
  • Мáтричный индикáтор — разновидность знакосинтезирующего индикатора, в котором элементы индикации сгруппированы по строкам и столбцам.

• Hyundai Matrix — субкомпактвэн корейской компании Hyundai, производившийся в 2001—2010 годах.
• Toyota Matrix^[en] (Toyota Corolla Matrix) — компактный хэчбек компании Toyota, производивщийся в 2002—2014 годах.

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством

m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2,…m; j=1,2,…n).

Числа a_ij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи a_ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a₁₁, a₂₂ ,…, a_nn образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы a_ii ( i=1,2,…,min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a_1n, a_2n-1 ,…, a_n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E ⁿ, где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i<j. Например:

Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(A^T).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

 Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

 Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

A^T=−A.

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

 Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

C=A+(-1)B.

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

C=A-B.

 Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

A⁰=E,

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

  Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A^T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

a_ij=a_ji ;   i=1,2,…n,   j=1,2,…n

Решение матриц ℹ️ методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Понятие выражения

Определение гласит, что матрица — это прямоугольная таблица с заключёнными в ней числами. Её название обозначается латинскими прописными буквами (А, В). Таблицы бывают разной размерности — прямоугольной, квадратной, а также в виде строк и столбцов.

От количества строк и столбцов будет зависеть величина таблицы. Матрица размера m*n означает, что в таблице содержится m строк и n столбцов. Допустим, первая строка включает элементы а11, а12, а13, вторая — а21, а22, а23. Тогда элементы, где i = j (а11, а22) образовывают диагональ и называются диагональными.

Различают комплексные матрицы, у которых хотя бы один элемент равен комплексному числу, и действительные, когда все её элементы являются действительными числами. В математике комплексные числа представлены в виде a+b*i, где:

• a — действительная часть числа;
• b — мнимая часть;
• i — мнимая единица (квадратный корень из -1).

На приведенном примере показаны варианты.

Простейшие действия с матрицами могут быть разными. К их числу относятся:

• умножение;
• вычитание;
• умножение на число;
• перемножение между собой;
• транспортирование матриц.

Сложение и вычитание

Действия по сложению возможны только тогда, когда матрицы одинакового порядка равны между собой. В итоге получится новое матричное выражение такой же размерности. Сложение и вычитание выполняются по общей схеме — над соответствующими элементами таблиц проводят необходимые операции. Например, нужно сложить две матрицы А и В размерности 2*2.

Каждый элемент первой строки складывается по порядку с показателями верхней строчки второй матрицы. По аналогии производится вычитание, только вместо плюса ставится минус.

Умножение на число

Любую таблицу чисел можно умножить на число. Тогда каждый её элемент перемножается с этим показателем. К примеру, умножим матричное выражение на 2:

​

Операция перемножения

Матрицы подлежат перемножению одна на другую, когда количество столбцов первой таблицы равно числу строк второй. Каждый элемент Aij будет равняться сумме произведений элементов i-строки первой таблицы, перемноженных на числа в j-столбце второй. Способ произведения наглядно представлен на примере.

Возведение в степень

Формулу возведения в степень применяют только для квадратных матричных выражений. При этом степень должна быть натуральной. Формула возведения следующая:

Иначе, чтобы выполнить операцию возведения таблицы чисел в степень n, требуется умножить её на себя саму n раз. Для операции возведения в степень удобно применять свойство в соответствии с формулой:

Решение представлено на примере. 1 этап: необходимо возвести в степень, где n = 2.

2 этап: сначала возводят в степень n =2. Согласно формуле перемножают таблицу чисел саму на себя n = 2 раз.

3 этап: в итоге получаем:

Расчёт определителя

В линейной алгебре существует понятие определителя или детерминанта. Это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице, вычисленное из её элементов по специальной формуле. Определитель или модуль используется для решения большинства задач. Детерминант самой простой матрицы определяется с помощью вычитания перемноженных элементов из побочной диагонали и главной.

Определителем матрицы А n-энного порядка называется число, которое получают из алгебраической суммы n! слагаемых, попадающих под определённые критерии. Эти слагаемые являются произведением n-элементов, взятых единично из всех столбов и строк.

Произведения могут отличаться друг от друга составом элементов. Со знаком плюс будут включаться в сумму числа, если их индексы составляют чётную подстановку, в противоположном случае их значение меняется на минус. Определитель обозначается символом det A. Круглые скобки матричной таблицы, обрамляющие её элементы, заменяются на квадратные. Формула определителя:

Определитель первого порядка, состоящий из одного элемента, равен самому этому элементу. Детерминант матричной таблицы размером 2*2 второго порядка вычисляется путём перемножения её элементов, расположенных на главной диагонали, и вычитания из них произведения элементов, находящихся в побочной диагонали. Наглядный пример:

Для матрицы также можно найти дискриминант многочлена, отвечающий формуле:

Когда у многочлена имеются кратные корни, тогда дискриминант равен нулю.

Обратная матрица

Прежде чем переходить к понятию обратного выражения матрицы, следует рассмотреть алгоритм её транспонирования. Во время операции строки и столбцы переставляются местами. На рисунке представлен метод решения:

По аналогии обратная матрица сходна с обратными числами. Например, противоположной цифре 5 будет дробь 1/5 = 5 (-1) степени. Произведение этих чисел равно 1, выглядит оно так: 5*5 (-1) = 1. Умножение обычной матричной таблицы на обратную даст в итоге единичную: А* А (-1) = Е. Это аналог числовой единицы.

Но для начала нужно понять алгоритм вычисления обратной матрицы. Для этого находят её определитель. Разработано два метода решения: с помощью элементарных преобразований или алгебраических дополнений.

Более простой способ решения — путём алгебраических дополнений. Рассмотрим матричную таблицу А, обратная ей А (-1) степени находится по формуле:

Матрица обратного вида возможна только для квадратного размера таблиц 2*2, 3*3 и т. д. Обозначается она надстроенным индексом (-1). Задачу легче рассмотреть на более простом примере, когда размер таблицы равен 2*2. На первом этапе выполняют действия:

Обратного выражения матрицы не может быть, если определитель равен нулю. В рассматриваемом случае он равен -2, поэтому всё в порядке.

2 этап: рассчитывают матрицу миноров, которая имеет те же значения, что и первоначальная. Под минором k-того порядка понимается определитель квадратной матрицы порядка k*k, составленный из её элементов, которые располагаются в выбранных k- столбцах и k-строках.

При этом расположение элементов таблицы не меняется. Чтобы найти минор верхнего левого числа, вычёркивают строчку и столбец, в которых прописан этот элемент. Оставшееся число и будет являться минором. На выходе должна получиться таблица:

3 этап: находят алгебраические дополнения.

4 этап: определяют транспонированную матрицу.

Итогом будет:

Проверка решения: чтобы удостовериться, что обратная таблица чисел найдена верно, следует выполнить проверочную операцию.

В рассматриваемом примере получается единичная матрица, когда на главной диагонали находятся единицы, при этом другие элементы равняются нулю. Это говорит о том, что решение было найдено правильно.

Нахождение собственных векторов

Определение собственного вектора и значений матричного выражения легче понять на примере. Для этого задают матричную таблицу чисел и ненулевой вектор Х, называемый собственным для А. Пример выражения:

Согласно теореме собственными числами матричного выражения будут корни характеристического уравнения:

Из однородной системы уравнений можно определить координаты собственного вектора Х, который соответствует значению лямбда.

Метод Гаусса

Методом Гаусса называют способ преобразования системы уравнений линейного вида к упрощённой форме для дальнейшего облегчённого решения. Операции упрощения уравнений выполняют с помощью эквивалентных преобразований. К таким относят:

• действия, когда в системе переставляются местами два уравнения;
• произведение одного из уравнений в системе на действительное ненулевое число;
• сложение первого уравнения со вторым, при этом последнее умножено на произвольное число.

Чтобы понять механизм решения, следует рассмотреть линейную систему уравнений.

Следует переписать эту систему в матричный вид:

А будет являться таблицей коэффициентов системы, b — это правая часть ограничений, а Х — вектор переменных координат, который требуется найти. Для решения используют ранг матрицы. Под ним понимают наивысший порядок минора, который отличается от 0.

В этом примере rang (A) = p. Способ эквивалентных преобразований не изменяет ранг таблицы коэффициентов.

Метод Гаусса предназначен для приведения матричной таблицы коэффициентов А к ступенчатому или диагональному виду. Расширенная система выглядит так:

Допустим, а11 не равен 0. В противном случае, если это не так, то меняют эту строку с другой, где в первом столбце находится элемент, отличный от нуля. Когда подобные строчки отсутствуют, переходят к другому столбцу. Все нижние элементы столбца после а11 обнуляют. Для этих целей выполняют операции сложения строк 2,3…m с первой строчкой, умноженной на а21/а11, -а31/а11….- аm1/a11. В результате система примет вид:

На втором шаге повторяют все действия с элементами столбца 2, которые расположены ниже а22. Если показатель равен нулю, строку также меняют местами со строчкой, лежащей ниже с ненулевым элементом во втором столбце. Затем обнулению подлежат все показатели ниже а22. Для этого складывают строки 2,3 ..m, как описано выше. Выполняя процедуру со всеми элементами, приходят к матричной таблице ступенчатого или диагонального вида. Полученная расширенная таблица будет выглядеть:

Обращают внимание на последние строки.

В этом случае система уравнений имеет решение, но когда хотя бы одно из этих чисел отличается от нуля, она несовместима. Таким образом, система совместима, если ранг таблицы А равен расширенному рангу В (А|b).

Если rang А=rang (A|b), то существует множество решений, где n-p — многообразие. Из этого следует n-p неизвестных Хр+1,…Xn выбираются произвольно. Неизвестные X1, X2,…Xp вычисляют следующим образом: из последнего уравнения выражают Хр через остальные переменные, вставляя в предыдущие выражения. Затем из предпоследнего уравнения получают Хр-1 через прочие переменные и подставляют их в предыдущие выражения. Процедуру повторяют.

Найти быстро ответ и проверить себя позволяет онлайн-калькулятор. Решение матрицы методом Гаусса с помощью такого расчёта показывает подробные этапы операций. Для нахождения достаточно указать количество переменных и уравнений, отметить в полях значения чисел и нажать кнопку «Вычислить».

Способ Крамера

Метод Крамера используют для решения квадратной системы уравнений, представленной в линейном виде, где определитель основной матрицы не равен нулю. Считается, что система обладает единственным решением. Например, задана система линейных уравнений:

Её необходимо заменить равноценным матричным уравнением.

Второй столбец вычисляют, а первый уже задан. Есть предположение, что определитель матрицы отличен от нуля. Из этого можно сделать выводы, что существует обратная матрица. Перемножив эквивалентное матричное уравнение на обратного формата матрицу, получим выражение:

В итоге получают выражения:

Из представленных уравнений выделяют формулы Крамера:

Метод Крамера не представляет сложности. Он может быть описан следующим алгоритмом:

1. Высчитывают определитель дельта базовой матрицы.
2. В матричной таблице А замещают первый столбец на вектор свободных элементов b.
3. Выполняют расчёт определителя дельта1 выявленной матрицы А1.
4. Определяют переменную Х1 = дельта1/дельта.
5. Повторяют шаги со 2 по 4 пункт в матрице А для столбов 2,3…n.

Проверить решение матрицы методом Крамера онлайн позволяет калькулятор автоматического расчёта. Для получения быстрого ответа в представленные поля подставляют переменные числа и их количество. Дополнительно может потребоваться указание вычислительного метода разложения по строке или столбу. Другой вариант заключается в приведении к треугольному виду.

Указывается также представление чисел в виде целого числа, обыкновенной или десятичной дроби. После введения всех предусмотренных параметров и нажатия кнопки «Вычислить» получают готовое решение.

Лекция 4. Матрицы и определители

Матрицы и определители. Лекция 4.

Матрицы.

Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Пример 13. , , , .

В общем случае матрица может содержать строк и столбцов

.

Числа называются элементами матрицы, где — указывает номер строки, — указывает номер столбца.

Элементы образуют главную диагональ матрицы. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров называется матрицей – го порядка.

Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е. тогда и только тогда, когда , для всех , .

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.

Пример 14. .

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.

Пример 15. .

Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.

Пример 16. , .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.

Пример 17. , .

Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором (вектор-строкой, вектор-столбцом).

Пример 18. , .

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .

Пример 19. ;

Очевидно, что .

Действия над матрицами.

Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если

, , то , причем

, для всех .

Пример 20. ,

.

Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число.

Пример 21. Пусть , тогда . Матрица называется противоположной к матрице.

Умножение матриц.

Умножение матриц можно только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы В этом случае справедливо соотношение , причем элементы матрицы равны , , . Другими словами строки матрицы умножаются на столбцы матрицы

Пример 22. Пусть , . Тогда

,

.

Видим, что в общем случае . Если же выполняется условие , то матрицы и называются перестановочными друг с другом.

Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия:

1. под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0;

2. первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше.

Пример 23. Следующая матрица является ступенчатой.

.

Элементарные преобразования матриц.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

1. Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).

2. Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.

3. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Определители.

Определителем называется квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам.

Пример 24. Если , то . Так .

Если , то .

Так .

Если , то

. Так

.

При вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников.

С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников.

Второй метод заключается в том, что рядом с определителем справа записываются первый и второй столбцы и тогда с плюсом берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух ей параллельных, с минусом – произведения элементов, стоящих на второй диагонали и двух ей параллельных.

Вычисление определителей более высоких порядков осуществляется путем использования их свойств.

Свойства определителей.

Пусть дана квадратная матрица

Из элементов этой матрицы можно составить определитель, который называется детерминантом матрицы и обозначается

Минором некоторого элемента определителя называют определитель, который получается вычеркиванием из него строки и столбца. Например

, .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называют число . Например

, .

Свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, т. е. .

2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух его строк (столбцов).

3. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен 0.

4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например

.

5. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, например

6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое ненулевое число.

(I=I+II).

7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например

.

Для вычисления определителя мы использовали разложение по второй строке, так как она содержит большее число нулевых элементов.

9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна 0.

22

Обратная матрица — Википедия

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

AA−1=A−1A=E{\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E}

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Способы нахождения обратной матрицы[править | править код]

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы[править | править код]

Метод Жордана—Гаусса[править | править код]

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λi{\displaystyle \Lambda _{i}} (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

Λ1⋅⋯⋅Λn⋅A=ΛA=E⇒Λ=A−1{\displaystyle \Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}}.

Λm=[1…0−a1m/amm0…0…0…1−am−1m/amm0…00…01/amm0…00…0−am+1m/amm1…0…0…0−anm/amm0…1]{\displaystyle \Lambda _{m}={\begin{bmatrix}1&\dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_{m-1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&\dots &1\end{bmatrix}}}.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ{\displaystyle \Lambda }, то есть будет искомой. Сложность алгоритма — O(n3){\displaystyle O(n^{3})}.

С помощью матрицы алгебраических дополнений[править | править код]

Матрица, обратная матрице A{\displaystyle A}, представима в виде

A−1=adj(A)det(A){\displaystyle {A}^{-1}={{{\mbox{adj}}(A)} \over {\det(A)}}}

где adj(A){\displaystyle {\mbox{adj}}(A)} — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы).

Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

Использование LU/LUP-разложения[править | править код]

Матричное уравнение AX=In{\displaystyle AX=I_{n}} для обратной матрицы X{\displaystyle X} можно рассматривать как совокупность n{\displaystyle n} систем вида Ax=b{\displaystyle Ax=b}. Обозначим i{\displaystyle i}-й столбец матрицы X{\displaystyle X} через Xi{\displaystyle X_{i}}; тогда AXi=ei{\displaystyle AX_{i}=e_{i}}, i=1,…,n{\displaystyle i=1,\ldots ,n}, поскольку i{\displaystyle i}-м столбцом матрицы In{\displaystyle I_{n}} является единичный вектор ei{\displaystyle e_{i}}. другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)^[1].

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение PA=LU{\displaystyle PA=LU}. Пусть PA=B{\displaystyle PA=B}, B−1=D{\displaystyle B^{-1}=D}. Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D=U−1L−1{\displaystyle D=U^{-1}L^{-1}}. Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида UD=L−1{\displaystyle UD=L^{-1}} и DL=U−1{\displaystyle DL=U^{-1}}. Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для n(n+1)2{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}, из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для n(n−1)2{\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}}, из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно рекуррентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)⁻¹ = A⁻¹P⁻¹ = B⁻¹ = D получаем равенство A−1=DP{\displaystyle A^{-1}=DP}.

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D, но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма — O(n³).

Итерационные методы[править | править код]

Методы Шульца[править | править код]

{Ψk=E−AUk,Uk+1=Uk∑i=0nΨki{\displaystyle {\begin{cases}\Psi _{k}=E-AU_{k},\\U_{k+1}=U_{k}\sum _{i=0}^{n}\Psi _{k}^{i}\end{cases}}}

Оценка погрешности[править | править код]

Выбор начального приближения[править | править код]

Проблема выбора начального приближения U0{\displaystyle U_{0}} в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору U0{\displaystyle U_{0}}, обеспечивающие выполнение условия ρ(Ψ0)<1{\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы AAT{\displaystyle AA^{T}} (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и ρ(A)≤β{\displaystyle \rho (A)\leq \beta }, то можно взять U0=αE{\displaystyle U_{0}={\alpha }E}, где α∈(0,2β){\displaystyle \alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)}; если же A — произвольная невырожденная матрица и ρ(AAT)≤β{\displaystyle \rho (AA^{T})\leq \beta }, то полагают U0=αAT{\displaystyle U_{0}={\alpha }A^{T}}, где также α∈(0,2β){\displaystyle \alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)}; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что ρ(AAT)≤kAATk{\displaystyle \rho (AA^{T})\leq {\mathcal {k}}AA^{T}{\mathcal {k}}}, положить U0=AT‖AAT‖{\displaystyle U_{0}={\frac {A^{T}}{\|AA^{T}\|}}}). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что ‖Ψ0‖{\displaystyle \|\Psi _{0}\|} будет малой (возможно, даже окажется ‖Ψ0‖>1{\displaystyle \|\Psi _{0}\|>1}), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Матрица 2 × 2[править | править код]

A−1=[abcd]−1=1detA[d−b−ca]=1ad−bc[d−b−ca]{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}}^[2]

Обращение матрицы 2 × 2 возможно только при условии, что ad−bc=detA≠0{\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0}.

Виды матриц.

Навигация по странице:

Определение.

Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.

Пример.

	4	1	-7		— квадратная матрица размера 3×3
	-1	0	2
	4	6	7

Определение.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю, т.е. a_ij = 0, ∀i, j.

Пример.

	0	0	0		— нулевая матрица
	0	0	0

Определение.

Вектор-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.

Пример.

1

4

-5

— вектор-строка

Определение.

Вектор-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца.

Пример.

	8		— вектор-столбец
	-7
	3

Определение.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Пример диагональной матрицы.

	4	0	0		— диагональные элементы произвольныене диагональные элементы равны нулю
	0	5	0
	0	0	0

Определение.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

Обозначение.

Единичную матрицу обычно обозначают символом E.

Пример единичной матрицы.

E =		1	0	0		— диагональные элементы равны 1не диагональные элементы равны нулю
		0	1	0
		0	0	1

Определение.

Верхней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулю.

Пример верхней треугольной матрицы.

	7	-6	0
	0	1	6
	0	0	0

Определение.

Нижней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю.

Пример нижней треугольной матрицы.

	7	0	0
	6	1	0
	-2	0	5

N.B. Диагональная матрица — матрица, которая одновременно является верхней треугольной и нижней треугольной.

Определение.

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

• если матрица содержит нулевую строку, то все строки, расположенные под нею, также нулевые;
• если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером i, и следующая строка не нулевая, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем i.

Примеры ступенчатых матриц.

7   0   8   0   0   4

7   0   8   8   8   0   0   1   3   5   0   0   0   -3   5   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0