Нам дано, что длина прямоугольника = 24,0 единицы, а ширина = 16,0 единицы.

AD = BC = 24,0 ед.

А АВ = CD = 16,0 ед.

Единицами могут быть любые единицы длины: дюймы, см, футы, мили, км и т. д.

Вычислим площадь, периметр, длину диагонали, радиус описанной окружности, площадь описанной окружности и углы, образуемые диагональю со сторонами.

Вычисление площади прямоугольника

Площадь этого прямоугольника = длина х ширина (длина х ширина) = 24,0 х 16,0 = 384,0 квадратных единиц

Периметр этого прямоугольника = 2 * (длина + ширина) = 2 * (24,0 + 16,0) = 80,0 шт.

Диагональ этого прямоугольника может быть вычислена с помощью теоремы Пифагора (или теоремы Пифагора).

Треугольники ADC (или BDC) являются прямоугольными треугольниками.

Итак, диагональ(и) можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника. Таким образом, квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длины и ширины.

Длина диагоналей AC и BD =  (24,0 ² + 16,0 ² ) ^(1/2)

Итак, длина диагонали = 28,84 единицы

На самом деле у прямоугольника нет вписанной окружности, которая касается каждой стороны. Это возможно только в предельном случае, когда длина и ширина равны и это квадрат.

Однако действительно возможно нарисовать окружность, проходящую через все 4 вершины прямоугольника. Обе диагонали являются диаметрами окружности.

Угол в полуокружности является прямым углом: каждый из 4 углов прямоугольника становится углом полукруга, когда мы рисуем описанную окружность.

Радиус описанной окружности = половина длины диагонали = 28,84/2 единицы =

Площадь описанной окружности = PI x радиус окружности2 = PI * 14,42 * 14,42 = 653,45 квадратных единиц

Прямоугольник имеет 2 оси симметрии: прямую, проходящую через середины сторон AB и CD, и другую прямую, проходящую через середины сторон AD и BC.

Оба проходят через точку E. Прямоугольник также является «изогональным» по своей природе, хотя это понятие вы, возможно, изучите или столкнетесь с ним позже.

Мы можем использовать немного тригонометрии, чтобы вычислить это.

Тангенс угла CAD = Тангенс угла ACB  = ширина прямоугольника / длина прямоугольника = 16,0/24,0 = 0,67

Угол CAD = Угол ACB = tan ^-1 0,67  = 0,59 радиан = 33,69градусов

и угол BAC = угол ACD = 90 градусов — угол CAD   = 0,98 радиана = 56,31 градуса

Примеры конгруэнтности и конгруэнтных треугольников

Каждая диагональ делит прямоугольник на пару конгруэнтных треугольников.

BD делит прямоугольник на равные треугольники BAD и BCD.

Доказательство:

(a) Угол BAD = угол BCD = 90 градусов (прямой угол)

(b) BD общая сторона обоих (гипотенуза)

(c) BA = CD = 16,0 единиц (противоположные стороны прямоугольника равны)

(d) AD = BC  = 24,0 единицы (противоположные стороны прямоугольника равны) 

Используя (a) (b) и (c), два треугольника конгруэнтны, используя конгруэнтность RHS или HL (гипотенуза-каттер).

Или, используя (c), (a) и (d), два треугольника конгруэнтны, используя конгруэнтность SAS (сторона-угол-сторона)

Аналогично можно доказать, что AC делит прямоугольник на два равных треугольника.

Две диагонали делят прямоугольник на две пары конгруэнтных треугольников

 (Треугольник AEB и треугольник CED равны, треугольник BEC и треугольник AED равны)

Чтобы доказать, что треугольник AEB и треугольник CED конгруэнтны:

(a) AB = CD = 16,0 единиц (противоположные стороны прямоугольника равны)

(б) Угол ABD = Угол CDB (AB параллелен CD, а BD — их секущая, это противоположные углы, значит равные)

(c) Угол BAC = угол DCA (по той же причине, что и выше)

(d) Угол BEA = угол CED (противоположные углы или вертикальные углы равны)

Итак, мы можем доказать конгруэнтность двух треугольников с помощью ASA Congruence (используя (c) (a) (b)) 

Или мы можем доказать конгруэнтность двух треугольников с помощью Конгруэнтности AAS (используя (d)(b)(a)) 

Аналогичным образом мы можем доказать, что треугольники BEC и AED равны.

Помните: прямоугольник — это четырехугольник с 4 прямыми углами. Противоположные стороны равны. Все свойства, применимые к параллелограммам, применимы и к прямоугольникам.

Квадрат можно рассматривать как частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

Каждый прямоугольник представляет собой выпуклый многоугольник и вписанный четырехугольник, диагональ которого представляет собой диаметр описанной окружности.

Некоторые примеры, иллюстрирующие похожие прямоугольники, преобразование размеров, коэффициент масштабирования и геометрическое сходство.

Эти руководства по подобным треугольникам, масштабному коэффициенту и преобразованию размера также могут быть полезны.

Пример:

Пусть текущий прямоугольник (с размерами 24,0 x 16,0) будет прямоугольником A.

Теперь рассмотрим другой прямоугольник B (размерами 12,0 x 8,0)

Оба эти прямоугольника геометрически подобны, потому что отношения длин соответствующих сторон равны.

Длина прямоугольника A : Длина прямоугольника B = Ширина прямоугольника A : Ширина прямоугольника B

24,0 : 12,0 = 16,0 : 8,0 = 2,0 : 1

А отношение их площадей:

Площадь прямоугольника A : Площадь прямоугольника B = 384,0 : 96,0  = 4,0 : 1

Масштабный коэффициент между A:B  = длина прямоугольника A : длина прямоугольника B = 24,0 : 12,0 = 2,0

Обратите внимание, что отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон (или масштабному коэффициенту).

Это пример преобразования размера в 2D-фигурах: 

, если все стороны фигуры умножить на коэффициент R , площадь новой фигуры будет в R ² раз больше площади исходной фигуры.

Пример:

Пусть текущий прямоугольник (с размерами 24,0 x 16,0) будет прямоугольником A.

Теперь рассмотрим другой прямоугольник B (размерами 6,0 x 4,0)

Оба эти прямоугольника геометрически подобны, потому что отношения длин соответствующих сторон равны.

Длина прямоугольника A : Длина прямоугольника B = Ширина прямоугольника A : Ширина прямоугольника B

24,0 : 6,0 = 16,0 : 4,0 = 4,0 : 1

А отношение их площадей:

Площадь прямоугольника A : Площадь прямоугольника B = 384,0 : 24,0  = 16,0 : 1

Масштабный коэффициент между A:B  = длина прямоугольника A : длина прямоугольника B = 24,0 : 6,0 = 4,0

Обратите внимание, что отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон (или масштабному коэффициенту).

Это пример преобразования размера в 2D-фигурах: 

, если все стороны фигуры умножить на коэффициент R , площадь новой фигуры будет в R ² раз больше площади исходной фигуры.

Пример:

Пусть текущий прямоугольник (с размерами 24,0 x 16,0) будет прямоугольником A.

Теперь рассмотрим другой прямоугольник B (размерами 3,0 x 2,0)

Оба эти прямоугольника геометрически подобны, потому что отношения длин соответствующих сторон равны.

Длина прямоугольника A : Длина прямоугольника B = Ширина прямоугольника A : Ширина прямоугольника B

24,0 : 3,0 = 16,0 : 2,0 = 8,0 : 1

А соотношение их площадей:

Площадь прямоугольника A : Площадь прямоугольника B = 384,0 : 6,0  = 64,0 : 1

Масштабный коэффициент между A:B  = длина прямоугольника A : длина прямоугольника B = 24,0 : 3,0 = 8,0

Обратите внимание, что отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон (или масштабному коэффициенту).

Это пример преобразования размера в 2D-фигурах: 

при умножении всех сторон фигуры на коэффициент R площадь новой фигуры равна R ² -кратная площадь исходной фигуры.

Еще несколько примеров:

Геометрические свойства прямоугольника размером 25 x 16.

Геометрические свойства прямоугольника размером 25 x 17.

Чтобы узнать больше о геометрических особенностях и свойствах прямоугольников, формулах, связанных с измерением и т. д., вы можете найти это полезным. чтобы прочитать свойства учебника Rectangle здесь. Многие из этих концепций являются частью программы по математике для 9 и 10 классов программы GCSE в Великобритании, Common Core Standards в США, программы ICSE/CBSE/SSC в Индии. Вы можете ознакомиться с нашими бесплатными и печатными рабочими листами для Common Core и GCSE.